P3 — Mouvement et 2ᵉ loi de Newton

Thème 3 · Mouvement et interactions

🎯 Pourquoi ce chapitre ?

Pourquoi une voiture met-elle plus de temps à freiner quand elle est lourde ? Pourquoi faut-il pousser plus fort pour accélérer un caddie plein qu’un caddie vide ? Pourquoi les astronautes flottent-ils dans la Station Spatiale alors qu’ils sont pourtant attirés par la Terre ?

Tout tient dans une seule équation : \sum \vec{F} = m\vec{a}. C’est probablement la formule la plus puissante du lycée : elle permet de prédire le mouvement de n’importe quel objet du quotidien — ballon, fusée, planète, électron — du moment qu’on connaît les forces qui agissent dessus. Ce chapitre te donne les outils pour la manier.

🧭 Ce que tu vas apprendre

Décrire un mouvement avec les vecteurs position, vitesse, accélération
Passer de l’un à l’autre par dérivation temporelle
Reconnaître les grands types de mouvements (rectiligne, circulaire)
Utiliser le repère de Frenet pour les mouvements circulaires
Appliquer la deuxième loi de Newton pour relier forces et accélération

1. Décrire un mouvement : les 3 vecteurs fondamentaux

Pour étudier un mouvement, on a besoin de trois vecteurs qui se dérivent les uns des autres :

Dériver la position dans le temps donne la vitesse. Dériver la vitesse donne l’accélération. L’opération inverse (intégrer) permet de « remonter » jusqu’à la position.

a. Vecteur position \vec{OM}(t)

Dans un repère (O;\vec{\imath},\vec{\jmath}) lié au référentiel d’étude, la position d’un point M à l’instant t est donnée par le vecteur : \vec{OM}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}

b. Vecteur vitesse \vec{v}(t)

Le vecteur vitesse d’un point M à l’instant t est la dérivée par rapport au temps du vecteur position :

📐 Formule clé — Vecteur vitesse

\vec{v}(t) = \frac{\mathrm{d}\vec{OM}(t)}{\mathrm{d}t} = \begin{pmatrix} \dot{x}(t) \\ \dot{y}(t) \end{pmatrix}

\vec{v}(t) : vecteur vitesse instantanée, en m·s⁻¹
Ses coordonnées sont les dérivées temporelles de x(t) et y(t)
Direction : tangente à la trajectoire, dans le sens du mouvement

c. Vecteur accélération \vec{a}(t)

C’est la dérivée du vecteur vitesse — ou, de manière équivalente, la dérivée seconde de la position :

📐 Formule clé — Vecteur accélération

\vec{a}(t) = \frac{\mathrm{d}\vec{v}(t)}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}^2\vec{OM}(t)}{\mathrm{d}t^2}

\vec{a}(t) : vecteur accélération, en m·s⁻²
Physiquement : comment la vitesse change (en valeur ou en direction)
Si \vec{a} = \vec{0} : vitesse constante en norme ET en direction → mouvement rectiligne uniforme

💡 Analogie — le train, l’arrêt, le dépassement

Imagine que tu regardes un train sur une voie rectiligne :

Sa position x(t), c’est où il est
Sa vitesse v(t) = \dot{x}, c’est à quelle allure il bouge
Son accélération a(t) = \dot{v}, c’est comment son allure change

Quand le train freine en gare, v diminue → a < 0 (accélération opposée au mouvement). Quand il redémarre, v augmente → a > 0. Accélération ≠ « aller vite », c’est changer de vitesse.

⚠️ Piège classique — accélération ≠ vitesse

Un objet peut avoir une grande vitesse et une accélération nulle : un avion de ligne à 900 km/h en vol de croisière rectiligne a \vec{a} = \vec{0}.

Inversement, un objet peut avoir une vitesse nulle et une accélération non nulle : tout objet lâché sans vitesse initiale. À t=0, \vec{v} = \vec{0}, mais \vec{a} = \vec{g} \neq \vec{0} !

2. Exemples de mouvements

a. Mouvements rectilignes

La trajectoire est une droite.

Type	Vitesse	Accélération
Rectiligne uniforme	\vec{v} constant en norme et direction	\vec{a} = \vec{0}
Rectiligne uniformément varié	norme évolue linéairement avec t	\vec{a} constant, colinéaire à \vec{v}

🧪 Exemple — chute libre verticale

Un objet lâché sans vitesse initiale tombe verticalement. Son accélération est \vec{a} = \vec{g} (vers le bas, g = 9{,}81 m·s⁻²). Sa vitesse v(t) = g\,t augmente linéairement : c’est un mouvement rectiligne uniformément accéléré.

b. Mouvements circulaires — le repère de Frenet

Pour un mouvement circulaire de rayon R, on utilise un repère qui tourne avec le mobile : le repère de Frenet (\vec{u_t}, \vec{u_n}).

\vec{u_t} : vecteur unitaire tangent à la trajectoire (dans le sens du mouvement)
\vec{u_n} : vecteur unitaire normal (perpendiculaire à \vec{u_t}, dirigé vers le centre du cercle)

Le repère de Frenet « voyage » avec le point mobile. La vitesse est toujours portée par \vec{u_t}, et la composante normale de l’accélération est toujours dirigée vers le centre.

📐 Formule clé — Vitesse et accélération en Frenet

\vec{v} = v\,\vec{u_t}

\vec{a} = \underbrace{\frac{v^2}{R}}_{a_n}\,\vec{u_n} + \underbrace{\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}}_{a_t}\,\vec{u_t}

a_n = \dfrac{v^2}{R} : accélération normale, toujours \geq 0, change la direction de \vec{v}
a_t = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} : accélération tangentielle, change la norme de \vec{v}
R : rayon du cercle, en m

Type	Vitesse	Accélération
Circulaire uniforme	norme v constante	\vec{a} = \dfrac{v^2}{R}\vec{u_n} (uniquement normale)
Circulaire varié	norme v varie	les deux composantes a_n et a_t sont non nulles

💡 Analogie — le manège

Tu tournes sur un carrousel à vitesse constante : ta norme de vitesse ne change pas, pourtant tu « sens » une force qui te tire vers l’extérieur. C’est justement parce que ton accélération n’est pas nulle : elle est dirigée en permanence vers le centre (\vec{u_n}) pour courber ta trajectoire. Si elle disparaissait (ex : la barre du manège casse), tu partirais en ligne droite — tangentiellement au cercle.

⚠️ Piège — circulaire UNIFORME ≠ accélération nulle

« Uniforme » veut dire norme de vitesse constante, pas vitesse vectorielle constante. Le vecteur vitesse change de direction en permanence, donc \vec{a} \neq \vec{0} ! On a a_t = 0 mais a_n = v^2/R \neq 0.

3. La deuxième loi de Newton

a. Référentiel galiléen

📐 Définition

Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le principe d’inertie est vérifié : un système isolé (ou pseudo-isolé) persiste dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme.

Exemples utilisés au lycée :

Référentiel terrestre : valable pour les mouvements courts à la surface de la Terre
Référentiel géocentrique : centre Terre + axes vers des étoiles fixes, pour les satellites
Référentiel héliocentrique : centre Soleil, pour le mouvement des planètes

b. Centre de masse

Le centre de masse G d’un système est le point unique où l’on peut appliquer la deuxième loi de Newton comme si toute la masse y était concentrée. Pour un objet homogène, il coïncide avec son centre géométrique.

c. Énoncé de la 2ᵉ loi de Newton

📐 Formule clé — Deuxième loi de Newton

Dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un système de masse m constante est égale au produit de sa masse par l’accélération de son centre de masse :

\boxed{\;\sum \vec{F}_{\text{ext}} = m\,\vec{a}_G\;}

\vec{F}_{\text{ext}} : forces extérieures appliquées au système, en N (newtons)
m : masse du système, en kg
\vec{a}_G : accélération du centre de masse, en m·s⁻²

💡 Analogie — le caddie au supermarché

Tu pousses deux caddies avec la même force : un vide (5 kg) et un plein de bouteilles d’eau (50 kg). Lequel démarre le plus vite ? Le vide, évidemment. Pourquoi ? Parce que \vec{a} = \sum\vec{F}/m : à force égale, plus m est grand, plus a est petit.

C’est exactement ça la 2ᵉ loi : elle te dit que l’inertie d’un objet (sa « résistance au changement de vitesse ») est sa masse.

⚠️ Piège classique — forces intérieures

Seules les forces extérieures au système comptent. Si tu choisis comme système « les deux patineurs qui se poussent », les forces qu’ils s’exercent mutuellement s’annulent (3ᵉ loi de Newton) et ne contribuent pas à \sum\vec{F}_{\text{ext}}. Le choix du système est donc crucial : définis-le clairement avant de commencer.

🧪 Exemple concret — freinage d’une voiture

Une voiture de m = 1200 kg roule à v_0 = 20 m/s (72 km/h). On freine, la force de freinage totale vaut F = 6000 N (vers l’arrière). Quelle est sa décélération ? a = \frac{F}{m} = \frac{6000}{1200} = 5 \text{ m·s}^{-2} Elle s’arrête après t = v_0 / a = 20/5 = 4 s. Si on double la masse (caravane attachée), a est divisée par 2 → distance d’arrêt doublée.

4. Méthode : appliquer la 2ᵉ loi de Newton

Pour tout exercice du chapitre, suis ces 5 étapes :

Système : définis clairement l’objet que tu étudies (souvent modélisé par son centre de masse G)
Référentiel : précise-le et dis qu’il est supposé galiléen
Bilan des forces : liste toutes les forces extérieures, avec un schéma
2ᵉ loi : écris \sum \vec{F}_{\text{ext}} = m\,\vec{a}_G
Projection : projette sur Ox (et Oy si 2D). Tu obtiens des équations scalaires que tu résous.

🗺️ Carte mentale du chapitre

flowchart LR
    A[("🚀<br/>Newton<br/>& Mouvement")] --> B["📏 Vecteurs<br/>cinématiques"]
    A --> C["🧭 Types de<br/>mouvements"]
    A --> D["⚖️ 2ᵉ loi de<br/>Newton"]

    B --> B1["Position OM⃗(t)"]
    B --> B2["Vitesse v⃗ = d(OM⃗)/dt"]
    B --> B3["Accélération a⃗ = dv⃗/dt"]
    B1 --> B4["Dérivation :<br/>OM⃗ → v⃗ → a⃗"]

    C --> C1["Rectiligne uniforme<br/>a⃗ = 0⃗"]
    C --> C2["Rectiligne varié<br/>a⃗ colinéaire à v⃗"]
    C --> C3["Circulaire uniforme<br/>a⃗ = v²/R · u⃗n"]
    C --> C4["Circulaire varié<br/>a⃗ = an·u⃗n + at·u⃗t"]
    C3 --> C5["⚠️ a ≠ 0<br/>même si v constante !"]

    D --> D1["Référentiel galiléen"]
    D --> D2["<b>ΣF⃗ext = m·a⃗G</b>"]
    D --> D3["Méthode 5 étapes"]
    D2 --> D4["⚠️ Forces EXTÉRIEURES<br/>seulement"]

    classDef root fill:#fff,stroke:#6366f1,stroke-width:3px,font-weight:bold
    classDef branch fill:#eef2ff,stroke:#6366f1,stroke-width:2px
    classDef leaf fill:#fdf2f8,stroke:#ec4899,stroke-width:1.5px
    classDef warn fill:#fef3c7,stroke:#f59e0b,stroke-width:2px

    class A root
    class B,C,D branch
    class B1,B2,B3,B4,C1,C2,C3,C4,D1,D2,D3 leaf
    class C5,D4 warn

🎯 Teste tes connaissances

📝 À retenir absolument

Vecteurs reliés par dérivation : \vec{OM} \xrightarrow{\mathrm{d}/\mathrm{d}t} \vec{v} \xrightarrow{\mathrm{d}/\mathrm{d}t} \vec{a}
Rectiligne uniforme : \vec{a} = \vec{0} ; rectiligne varié : \vec{a} colinéaire à \vec{v}
Circulaire uniforme : \vec{a} = \dfrac{v^2}{R}\vec{u_n} (toujours vers le centre, jamais nulle !)
Circulaire varié : \vec{a} = \dfrac{v^2}{R}\vec{u_n} + \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\vec{u_t}
2ᵉ loi de Newton : \sum \vec{F}_{\text{ext}} = m\,\vec{a}_G — dans un référentiel galiléen, avec les forces extérieures seulement
Méthode en 5 étapes : système → référentiel → bilan des forces → 2ᵉ loi → projection

🔗 Pour aller plus loin

📄 Cours original (PDF)
🎓 Chapitre suivant : P4 — Mouvement dans un champ uniforme (où l’on applique cette 2ᵉ loi)

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