P9 — Dynamique du dipôle RC

Thème 4 · Ondes et signaux

🎯 Pourquoi ce chapitre ?

Quand tu appuies sur le flash d’un appareil photo, la lumière ne sort pas immédiatement : il y a ce petit « bzzz » de quelques millisecondes avant le clic. Ce bruit, c’est un condensateur qui se charge. Quand le flash s’allume, tout cet énergie accumulée se libère en quelques microsecondes — trop rapidement pour que la pile seule puisse fournir autant de courant d’un coup.

Le dipôle RC, c’est ça : un condensateur qui se remplit (ou se vide) à travers une résistance. On le retrouve partout : les écrans tactiles capacitifs, les filtres audio, les clignotants de voiture, les temporisations électroniques. Ce chapitre t’apprend à modéliser ce comportement avec une équation différentielle et à en tirer la fameuse courbe exponentielle.

🧭 Ce que tu vas apprendre

  • Le lien entre intensité et charge : i = \dfrac{dq}{dt}
  • La relation caractéristique d’un condensateur : q = C u_C
  • Établir et résoudre l’équation différentielle d’un circuit RC (charge et décharge)
  • La constante de temps \tau = RC et son interprétation
  • Déterminer \tau graphiquement (tangente à l’origine, 63 %, 5τ)

1. L’intensité, un débit de charges

Un courant électrique, c’est un déplacement d’ensemble de charges. Quand le courant est constant (régime permanent), on connaît la formule de seconde :

I = \frac{Q}{\Delta t}

Mais quand le courant varie dans le temps (ce qui est le cas d’un condensateur qui se charge), il faut passer à une version « instantanée » :

Important📐 Formule — Intensité instantanée

i(t) = \frac{dq}{dt}

  • i : intensité instantanée (A)
  • q : charge ayant traversé la section du conducteur (C)
  • dq/dt : dérivée de la charge par rapport au temps
Astuce💡 Analogie — Le débit d’une rivière

L’intensité, c’est le débit d’une rivière : combien de litres d’eau passent par seconde à un endroit donné. En régime permanent, le débit est constant : on peut faire I = V/\Delta t. Mais pendant une crue ou un étiage, le débit change à chaque instant — il faut parler de débit instantané : i = dq/dt.

2. Le condensateur

a. Constitution

Un condensateur, c’est essentiellement deux plaques conductrices séparées par un isolant (le diélectrique). Quand on le relie à un générateur, les électrons s’accumulent sur une plaque (qui devient négative) et sont « aspirés » de l’autre (qui devient positive). Comme l’isolant bloque le passage, les charges restent piégées : le condensateur a stocké de l’énergie.

b. Capacité

La capacité C mesure l’aptitude du condensateur à stocker des charges. Elle s’exprime en farad (F) :

  • Condensateurs usuels : quelques µF ou nF
  • 1\ \mu\text{F} = 10^{-6} F
  • 1\ \text{nF} = 10^{-9} F
Avertissement⚠️ Piège — Le farad est énorme

Un farad, c’est gigantesque ! Un condensateur de 1 F peut fournir 1 A pendant 1 s sous 1 V. On utilise presque toujours des microfarads ou des nanofarads. Un condensateur de 1 F existe (les « supercondensateurs ») mais a la taille d’une pile AA.

c. Relation charge-tension

À tout instant, la charge q_A de l’armature A est proportionnelle à la tension u_C aux bornes du condensateur :

\boxed{\,q_A = C \times u_C\,}

En dérivant cette relation par rapport au temps, on obtient l’intensité dans la branche du condensateur :

i = \frac{dq_A}{dt} = C \times \frac{du_C}{dt}

Astuce💡 Analogie — Le seau et le robinet

Imagine un seau (C) sous un robinet. La charge q, c’est le volume d’eau dans le seau. La tension u_C, c’est la hauteur de l’eau. Plus le seau est grand (C élevé), plus il faut de litres pour atteindre une même hauteur (q = C u_C). L’intensité i, c’est le débit du robinet, donc la vitesse à laquelle la hauteur monte : i = C \cdot du_C/dt.

3. Le circuit RC série : charge d’un condensateur

On étudie le circuit ci-dessous : une résistance R en série avec un condensateur C, alimenté par une source de tension constante E via un interrupteur. Au départ, le condensateur est complètement déchargé (u_C(0) = 0).

E K R C uC i uR

Circuit RC série : générateur E, interrupteur, résistance R, condensateur C. Courant i au moment de la fermeture.

a. Établir l’équation différentielle

Loi des mailles (on parcourt la boucle) : u_R + u_C = E

Or u_R = R\, i et i = C\, \dfrac{du_C}{dt} (relation du condensateur). En substituant :

R \times C \times \frac{du_C}{dt} + u_C = E

Ou encore, en divisant par RC :

\boxed{\,\frac{du_C}{dt} + \frac{1}{RC}\, u_C = \frac{E}{RC}\,}

C’est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants.

b. Résoudre l’équation différentielle

Les solutions d’une équation de la forme y' = a y + b (avec a \neq 0) sont : y(t) = K\, e^{a t} - \frac{b}{a}

Ici a = -1/(RC) et b = E/(RC), donc -b/a = E. La solution générale est : u_C(t) = K\, e^{-t/(RC)} + E

Condition initiale : à t = 0, u_C(0) = 0 (condensateur déchargé) : 0 = K \times e^0 + E = K + E \quad \Longrightarrow \quad K = -E

Important📐 Loi de charge d’un condensateur

\boxed{\,u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right)\,} \qquad \text{avec } \tau = RC

  • E : tension du générateur (V) — c’est la valeur finale de u_C
  • \tau = RC : constante de temps (s)
  • u_C part de 0 et tend asymptotiquement vers E

c. Décharge d’un condensateur

On bascule l’interrupteur pour remplacer E par un simple fil : le condensateur se décharge dans R. La loi des mailles devient u_R + u_C = 0, et la même démarche donne :

u_C(t) = E\, e^{-t/\tau}

Le condensateur part de E et tend vers 0.

Charge uC t E 0,63E τ Décharge uC t E 0,37E τ

Charge : u_C croît de 0 vers E, atteint 0{,}63\,E à t = \tau. Décharge : u_C décroît de E vers 0, atteint 0{,}37\,E à t = \tau. La tangente à l’origine coupe l’asymptote au temps \tau.

4. La constante de temps \tau = RC

La constante de temps \tau = RC caractérise la rapidité de la charge ou de la décharge. Elle a bien la dimension d’un temps : [\tau] = [R] \times [C] = \Omega \times F = \text{V/A} \times \text{C/V} = \text{C/A} = \text{s}

Astuce💡 Analogie — Le temps de remplir un bain

\tau, c’est comme le temps qu’il faut pour remplir un bain : il dépend de la taille du bain (C, la capacité) et de la taille du tuyau (R, la résistance). Un grand bain avec un petit robinet met du temps à se remplir ; un petit bain avec un gros tuyau se remplit instantanément.

a. Valeurs caractéristiques

Temps écoulé u_C en charge u_C en décharge
t = \tau \approx 63\% de E \approx 37\% de E
t = 3\tau \approx 95\% \approx 5\%
t = 5\tau \approx 99{,}3\% \approx 0{,}7\%

En pratique, on considère que le régime permanent est atteint au bout de 5\tau.

b. Déterminer \tau graphiquement

Deux méthodes très classiques au bac :

  1. Tangente à l’origine : la tangente à la courbe au point t = 0 coupe l’asymptote u_C = E (en charge) au temps t = \tau.
  2. Lecture à 63 % : on repère le temps tel que u_C = 0{,}63\,E (charge) ou u_C = 0{,}37\,E (décharge) ; ce temps est \tau.
Avertissement⚠️ Piège — Ne pas confondre tangente et asymptote

La courbe u_C(t) ne « touche » jamais E mathématiquement : elle tend vers cette valeur sans jamais l’atteindre. \tau n’est pas le temps à partir duquel la charge est terminée ; c’est le temps où on a atteint 63\%. On considère en pratique que c’est « fini » à 5\tau.

Note🧪 Exemple numérique

Un condensateur de C = 47\ \muF se charge à travers R = 2{,}2 kΩ sous E = 5 V.

\tau = RC = 2{,}2 \times 10^3 \times 47 \times 10^{-6} = 103 \text{ ms} \approx 0{,}1 \text{ s}

  • À t = \tau = 0{,}1 s : u_C \approx 0{,}63 \times 5 = 3{,}15 V
  • À t = 5\tau = 0{,}5 s : u_C est quasiment égal à 5 V (charge terminée)

🗺️ Carte mentale du chapitre

flowchart TD
  A[Courant variable<br/>i = dq/dt] --> B[Condensateur<br/>q = C·uC]
  B --> C["Relation clé<br/>i = C·du/dt"]

  D[Circuit RC série<br/>+ loi des mailles] --> E[Équation différentielle<br/>RC·du/dt + uC = E]
  C --> E
  E --> F[Solution charge<br/>uC = E-1 - exp-t/τ-]
  E --> G[Solution décharge<br/>uC = E·exp-t/τ]

  F --> H[Constante de temps<br/>τ = RC]
  G --> H
  H --> I[Détermination graphique<br/>tangente origine ou 63 pct]
  H --> J[Régime permanent<br/>atteint à 5τ]

  classDef base fill:#eef2ff,stroke:#6366f1,stroke-width:2px,color:#1e293b;
  classDef equa fill:#fdf2f8,stroke:#ec4899,stroke-width:2px,color:#1e293b;
  classDef result fill:#fff7ed,stroke:#f59e0b,stroke-width:2px,color:#1e293b;
  classDef methode fill:#ecfdf5,stroke:#10b981,stroke-width:2px,color:#1e293b;

  class A,B,C base;
  class D,E equa;
  class F,G,H result;
  class I,J methode;

📝 À retenir absolument

  1. Intensité : i = dq/dt (dérivée de la charge).
  2. Condensateur : q = C u_C, donc i = C\, du_C/dt.
  3. Équation différentielle (charge) : RC\, \dfrac{du_C}{dt} + u_C = E.
  4. Solution charge : u_C(t) = E\,(1 - e^{-t/\tau}).
  5. Solution décharge : u_C(t) = E\, e^{-t/\tau}.
  6. Constante de temps : \tau = RC, en secondes. Elle fixe la rapidité du phénomène.
  7. À t = \tau : on a fait 63 % de la charge (ou il en reste 37 % en décharge).
  8. Le régime permanent est atteint en pratique à t \approx 5\tau.

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