P5 — Mouvement dans un champ de gravitation

Thème 3 · Mouvement et interactions

🎯 Pourquoi ce chapitre ?

Pourquoi la Lune ne tombe-t-elle pas sur la Terre ? (Spoiler : elle tombe, en permanence… mais elle rate la Terre à chaque fois.) Pourquoi les satellites GPS tournent-ils pile à 20 000 km d’altitude et pas ailleurs ? Comment Kepler a-t-il deviné, sans Newton et sans télescope moderne, que les planètes suivent des ellipses — et comment Newton l’a ensuite démontré en une seule équation ?

Ce chapitre boucle la trilogie mécanique. On prend la 2ᵉ loi de Newton (chapitre P3) et on l’applique au cas le plus spectaculaire de l’univers : le mouvement des corps célestes. À la clé : les trois lois de Kepler, la vitesse des satellites, et la compréhension intuitive de ce qu’est une « orbite ».

🧭 Ce que tu vas apprendre

La loi de gravitation universelle et le lien avec le champ \vec{\mathcal{G}}
Appliquer la 2ᵉ loi de Newton dans le repère de Frenet pour un mouvement circulaire
Démontrer que la vitesse d’un satellite en orbite circulaire est v = \sqrt{GM/r}
Les trois lois de Kepler (orbites, aires, périodes)
Calculer une période orbitale et retrouver la 3ᵉ loi de Kepler

1. La force et le champ de gravitation

a. Loi de gravitation universelle (Newton, 1687)

Deux corps ponctuels A et B de masses m_A et m_B, séparés d’une distance r, s’attirent mutuellement selon une force dirigée le long de la droite (AB) :

📐 Formule — Force de gravitation

\vec{F}_{A/B} = -G \, \frac{m_A \times m_B}{r^2}\, \vec{u}_{A \to B}

G = 6{,}67 \times 10^{-11} N·m²·kg⁻² (constante de gravitation universelle)
m_A, m_B : masses des deux corps (kg)
r : distance entre les centres de masse (m)
\vec{u}_{A \to B} : vecteur unitaire dirigé de A vers B
Le signe moins indique que la force est attractive (dirigée de B vers A)

💡 Analogie — L’aimant cosmique

Imagine que tout objet possédant une masse est un tout petit aimant… mais cet aimant n’attire que les autres masses, il n’y a pas de pôle nord/sud, et l’attraction diminue en 1/r^2. Une pomme attire la Terre autant que la Terre attire la pomme. Ce qui diffère, c’est l’effet : la Terre est tellement massive qu’elle ne bouge pas, tandis que la pomme, elle, tombe.

b. Du champ \vec{\mathcal{G}} au champ de pesanteur \vec{g}

On peut reformuler la force en introduisant un champ de gravitation \vec{\mathcal{G}} créé par A à l’endroit où se trouve B :

\vec{F}_{A/B} = m_B \, \vec{\mathcal{G}} \qquad \text{avec} \qquad \vec{\mathcal{G}} = -G \, \frac{m_A}{r^2}\, \vec{u}_{A \to B}

Le champ ne dépend que de l’astre attirant, pas de l’objet attiré. C’est ce champ qu’on appelle \vec{g} au voisinage de la Terre :

g(h) = G \, \frac{M_T}{(R_T + h)^2}

🧪 Exemple — g à l’altitude de l’ISS

L’ISS orbite à h = 410 km, donc à r = R_T + h = 6{,}38 \times 10^6 + 4{,}10 \times 10^5 \approx 6{,}79 \times 10^6 m.

g_{ISS} = \frac{6{,}67\times 10^{-11} \times 5{,}97 \times 10^{24}}{(6{,}79 \times 10^6)^2} \approx 8{,}6 \text{ N·kg}^{-1}

C’est seulement 12 % de moins qu’au sol. Les astronautes ne flottent donc pas parce que « la gravité est nulle » — ils flottent parce qu’ils sont en chute libre continue autour de la Terre !

⚠️ Piège — « En apesanteur » ≠ « sans gravité »

Dans l’ISS, g vaut encore ~8,6 N·kg⁻¹. Les astronautes ressentent l’apesanteur parce qu’eux et la station tombent ensemble : tout le monde a la même accélération \vec{g}, donc aucun poids apparent. C’est la même sensation que dans un ascenseur dont le câble lâche.

2. Mouvement circulaire d’un satellite : la 2ᵉ loi en Frenet

On considère un satellite de masse m en orbite circulaire de rayon r autour d’un astre de masse M (Terre ou Soleil). La seule force qui agit est la force de gravitation, dirigée vers le centre de l’astre — c’est-à-dire vers le centre du cercle.

a. Application de la 2ᵉ loi de Newton

On se place dans le repère de Frenet (\vec{u}_T, \vec{u}_N) où \vec{u}_N pointe vers le centre du cercle. Dans ce repère :

\vec{a} = \frac{dv}{dt}\,\vec{u}_T + \frac{v^2}{r}\,\vec{u}_N

La force de gravitation vaut \vec{F} = G \dfrac{mM}{r^2}\,\vec{u}_N (entièrement normale, rien sur \vec{u}_T !).

En projetant \sum \vec{F} = m\vec{a} sur les deux axes :

La force de gravitation est entièrement centripète (selon \vec{u}_N). Rien sur \vec{u}_T : la vitesse v reste constante.

Sur \vec{u}_T (tangent) : 0 = m\, \frac{dv}{dt} \quad \Longrightarrow \quad \frac{dv}{dt} = 0 \quad \Longrightarrow \quad v = \text{constante}

➡️ Le mouvement est uniforme : la vitesse du satellite ne change pas en valeur.

Sur \vec{u}_N (normal, vers le centre) : G\, \frac{mM}{r^2} = m\, \frac{v^2}{r}

On simplifie par m, puis on isole v^2 :

📐 Formule — Vitesse d’un satellite en orbite circulaire

\boxed{\,v = \sqrt{\frac{G\,M}{r}}\,}

G : constante de gravitation universelle (6,67 × 10⁻¹¹ S.I.)
M : masse de l’astre attracteur (kg)
r : rayon de l’orbite (m), compté depuis le centre de l’astre

La vitesse ne dépend pas de la masse du satellite ! Un cube à sucre et l’ISS à la même altitude auraient la même vitesse orbitale.

🧪 Exemple — Vitesse de l’ISS

ISS : r = 6{,}79 \times 10^6 m, M_T = 5{,}97 \times 10^{24} kg.

v = \sqrt{\frac{6{,}67 \times 10^{-11} \times 5{,}97 \times 10^{24}}{6{,}79 \times 10^6}} \approx 7{,}66 \times 10^3 \text{ m·s}^{-1} \approx 27\,600 \text{ km·h}^{-1}

L’ISS fait le tour de la Terre en environ 93 minutes.

⚠️ Piège — Masse du satellite vs masse de l’astre

Dans la formule v = \sqrt{GM/r}, M est la masse de l’astre central (Terre pour un satellite terrestre, Soleil pour une planète). La masse du satellite s’est simplifiée dans le calcul — elle n’intervient pas !

3. Les trois lois de Kepler

Avant Newton, Johannes Kepler (1571-1630) avait déjà découvert, à partir des observations de son maître Tycho Brahe, trois régularités empiriques dans le mouvement des planètes. La 2ᵉ loi de Newton permet de les démontrer.

a. 1ʳᵉ loi — Loi des orbites

Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre de masse d’une planète est une ellipse dont le centre de masse du Soleil est l’un des foyers.

Les orbites planétaires ne sont pas des cercles parfaits — ce sont des ellipses. Mais pour la Terre, l’excentricité est si faible (0,017) qu’on peut l’approximer par un cercle.

b. 2ᵉ loi — Loi des aires

Le segment reliant le centre du Soleil et celui de la planète balaie des aires égales pendant des durées égales.

💡 Analogie — Les épluchures de pomme

Imagine que tu trempes un pinceau dans la peinture et que tu peins une fine tranche entre le Soleil et la planète. En 1 jour, la surface peinte est toujours la même, que la planète soit près du Soleil (périhélie) ou loin (aphélie). Conséquence : près du Soleil, la planète doit aller vite (pour balayer la même aire dans le même temps) ; loin, elle ralentit. C’est pour ça que l’été boréal dure un peu plus longtemps que l’hiver !

c. 3ᵉ loi — Loi des périodes

Pour toutes les planètes orbitant autour du Soleil, le rapport entre le carré de la période T et le cube du demi-grand axe a est une constante qui ne dépend que de l’astre central :

\frac{T^2}{a^3} = \text{constante} = \frac{4\pi^2}{G\, M_{\text{astre}}}

Démonstration dans le cas circulaire (a = r) :

Le satellite parcourt un périmètre 2\pi r à la vitesse v : T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi r}{\sqrt{GM/r}} = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G M}}

En élevant au carré : \boxed{\,T^2 = \frac{4\pi^2}{G M}\, r^3\,}

🧪 Exemple — L’orbite géostationnaire

Un satellite géostationnaire a une période T = 86\,164 s (1 jour sidéral). Son rayon d’orbite : r = \sqrt[3]{\frac{GM_T\, T^2}{4\pi^2}} = \sqrt[3]{\frac{6{,}67\times 10^{-11} \times 5{,}97\times 10^{24} \times (86\,164)^2}{4\pi^2}} \approx 4{,}22 \times 10^7 \text{ m}

Soit une altitude h = r - R_T \approx 36\,000 km. C’est précisément là qu’on place les satellites de télévision : à cette altitude, ils tournent en 24 h et semblent « immobiles » depuis le sol.

4. Méthodologie — Utiliser la 2ᵉ loi en Frenet

🛠️ Démarche en 4 étapes pour les orbites circulaires

Système : identifier le satellite ou la planète étudiée ; préciser le référentiel (géocentrique, héliocentrique, astrocentrique) supposé galiléen.
Bilan des forces : une seule force, \vec{F} = G\dfrac{mM}{r^2}\vec{u}_N, dirigée vers le centre.
2ᵉ loi de Newton dans le repère de Frenet : projection sur \vec{u}_T ⇒ mouvement uniforme ; projection sur \vec{u}_N ⇒ équation qui donne v.
Exploitation : selon ce qui est demandé, en tirer v, T, r ou la masse de l’astre central.

🗺️ Carte mentale du chapitre

flowchart TD
  A[Loi de gravitation universelle<br/>F = G·mA·mB/r²] --> B[Champ de gravitation<br/>𝒢 = -G·M/r² · u]
  B --> C[Champ de pesanteur g<br/>à l'altitude h]

  A --> D[Satellite en orbite circulaire]
  D --> E[2ᵉ loi de Newton<br/>en repère de Frenet]
  E --> F[Composante tangentielle<br/>dv/dt = 0 → mouvement uniforme]
  E --> G[Composante normale<br/>v² = GM/r]
  G --> H[Vitesse orbitale<br/>v = √-GM/r-]
  H --> I[Période<br/>T = 2π·√-r³/GM-]
  I --> J[3ᵉ loi de Kepler<br/>T²/r³ = 4π²/-GM-]

  A --> K[Lois de Kepler]
  K --> L[1ʳᵉ loi : ellipses]
  K --> M[2ᵉ loi : aires]
  K --> J

  classDef force fill:#eef2ff,stroke:#6366f1,stroke-width:2px,color:#1e293b;
  classDef frenet fill:#fdf2f8,stroke:#ec4899,stroke-width:2px,color:#1e293b;
  classDef kepler fill:#ecfdf5,stroke:#10b981,stroke-width:2px,color:#1e293b;
  classDef result fill:#fff7ed,stroke:#f59e0b,stroke-width:2px,color:#1e293b;

  class A,B,C force;
  class D,E,F,G frenet;
  class K,L,M kepler;
  class H,I,J result;

📝 À retenir absolument

Loi de gravitation : \vec{F}_{A/B} = -G\, m_A m_B / r^2\, \vec{u}_{A\to B} (attractive, en 1/r^2).
Champ de pesanteur à l’altitude h : g(h) = GM_T / (R_T + h)^2.
Mouvement circulaire autour d’un astre : uniforme (la gravitation est purement normale).
Vitesse : v = \sqrt{GM/r}, indépendante de la masse du satellite.
Période : T = 2\pi \sqrt{r^3/(GM)}.
3ᵉ loi de Kepler : T^2/r^3 = 4\pi^2/(GM) = constante pour un astre donné.
L’apesanteur en orbite n’est pas due à une absence de gravité mais à la chute libre permanente.

🎯 Quiz — Teste-toi !

🔗 Pour aller plus loin

📘 Cours officiel (PDF)
🔗 Chapitres liés : P3 — 2ᵉ loi de Newton · P4 — Champ uniforme

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