P4 — Mouvement dans un champ uniforme

Thème 3 · Mouvement et interactions

🎯 Pourquoi ce chapitre ?

Quand tu lances un caillou, il suit une trajectoire courbée — une parabole. Quand tu tires un ballon au basket, la balle décrit la même courbe. Quand un électron est propulsé dans un écran d’oscilloscope (ou dans le canon à électrons d’un vieux téléviseur), il fait exactement la même chose, mais sous l’action d’une force électrique au lieu du poids.

Pourquoi la même trajectoire ? Parce que la cause est la même : une force constante, dans une direction fixe. C’est ça, un champ uniforme. Une fois que tu maîtrises un cas, tu maîtrises les deux. Ce chapitre te montre comment, à partir de \vec{a}, tu remontes jusqu’à l’équation de la trajectoire — et comment l’énergie mécanique se conserve pendant la chute.

🧭 Ce que tu vas apprendre

  • Ce qu’est un champ uniforme (pesanteur \vec{g} ou électrique \vec{E})
  • Remonter de \vec{a} → \vec{v} → \overrightarrow{OM} par primitivation avec conditions initiales
  • Établir l’équation de la trajectoire parabolique en éliminant t
  • Utiliser la conservation de l’énergie mécanique en chute libre
  • Comprendre le principe d’un accélérateur linéaire via W = qU

1. Qu’est-ce qu’un champ uniforme ?

Un champ vectoriel uniforme est un champ qui garde, en tout point d’une région de l’espace, la même direction, le même sens et la même valeur. Autrement dit : partout où tu te places dans la région, la flèche du champ est identique.

Astuce💡 Analogie — Un vent constant dans une pièce

Imagine que tu allumes un ventilateur géant qui souffle en ligne droite partout dans la chambre, avec la même force. En tout point, la brise est identique : même direction (du ventilo vers toi), même vitesse. C’est ça, un champ uniforme. Par contre, près d’un radiateur, l’air chaud monte ici mais pas là : ce n’est pas uniforme.

a. Le champ de pesanteur \vec{g}

À la surface de la Terre, dans une région de petite taille par rapport au rayon terrestre (une salle, un stade, même une ville), on peut considérer que \vec{g} est uniforme :

  • Direction : verticale
  • Sens : vers le bas
  • Valeur : g \approx 9{,}81 N·kg⁻¹ en France

b. Le champ électrique \vec{E} dans un condensateur plan

Quand on applique une tension U entre les deux plaques d’un condensateur plan (deux plaques métalliques parallèles séparées d’une distance d), un champ électrique uniforme apparaît entre les plaques :

+ + + + + + + + + Plaque + − − − − − − − − − Plaque − E → d U

Entre les plaques chargées, \vec{E} est uniforme, perpendiculaire aux plaques, dirigé du + vers le −.

  • Direction : perpendiculaire aux plaques
  • Sens : de la plaque + vers la plaque −
  • Valeur : \displaystyle E = \frac{U}{d}
Important📐 Formule — Champ dans un condensateur

E = \frac{U}{d}

  • E : valeur du champ électrique (V·m⁻¹ ou N·C⁻¹)
  • U : tension entre les plaques (V)
  • d : distance entre les plaques (m)

Plus la tension est grande ou plus les plaques sont proches, plus le champ est intense.

2. Déterminer le mouvement : la recette universelle

Qu’il s’agisse d’un ballon lancé en l’air ou d’un électron entre deux plaques, la démarche est exactement la même. Elle se fait en 4 étapes.

Étape 1 — Trouver \vec{a} avec la 2ᵉ loi de Newton

On applique \sum \vec{F} = m\vec{a} au système en listant les forces qui agissent dessus.

🍎 Dans un champ de pesanteur

Une seule force : le poids \vec{P} = m\vec{g}.

m\vec{g} = m\vec{a} \quad \Longrightarrow \quad \boxed{\vec{a} = \vec{g}}

L’accélération ne dépend pas de la masse ! C’est pour ça qu’un marteau et une plume tombent à la même vitesse… dans le vide.

⚡ Dans un champ électrique

Une seule force (si on néglige le poids) : la force électrique \vec{F} = q\vec{E}.

q\vec{E} = m\vec{a} \quad \Longrightarrow \quad \boxed{\vec{a} = \frac{q}{m}\vec{E}}

Si q > 0, l’accélération est dans le sens de \vec{E}. Si q < 0 (électron), elle est dans le sens opposé.

Avertissement⚠️ Piège — Le poids de l’électron

Pour un électron, le poids P = mg \approx 10^{-29} N est négligeable devant la force électrique F \approx 10^{-15} N (14 ordres de grandeur !). C’est pour ça qu’on peut l’oublier. Mais pour une goutte d’huile chargée (expérience de Millikan), il ne faut surtout pas !

Étape 2 — Remonter à \vec{v} par primitivation

Comme \vec{a} = \dfrac{d\vec{v}}{dt}, on cherche les primitives des coordonnées de \vec{a}. Chaque primitive fait apparaître une constante d’intégration qu’on détermine grâce aux conditions initiales (la vitesse à t=0).

Pour un projectile lancé avec une vitesse initiale \vec{v_0} faisant un angle \alpha avec l’horizontale :

\vec{v_0} \begin{pmatrix} v_0 \cos \alpha \\ v_0 \sin \alpha \end{pmatrix}

Avec \vec{a} = \vec{g} (donc a_x = 0, a_y = -g), on intègre :

\vec{v}(t) \begin{pmatrix} v_x(t) = v_0 \cos \alpha \\ v_y(t) = -g\,t + v_0 \sin \alpha \end{pmatrix}

Étape 3 — Remonter à \overrightarrow{OM} par primitivation

Comme \vec{v} = \dfrac{d\overrightarrow{OM}}{dt}, on recommence la même opération. Si le projectile part de l’origine O (donc \overrightarrow{OM_0} = \vec{0}) :

\overrightarrow{OM}(t) \begin{pmatrix} x(t) = (v_0 \cos \alpha)\, t \\ y(t) = -\dfrac{1}{2} g\, t^2 + (v_0 \sin \alpha)\, t \end{pmatrix}

Ce sont les équations horaires du mouvement.

Astuce💡 Analogie — Remonter une rivière

Dériver, c’est descendre le courant (position → vitesse → accélération). Intégrer (primitiver), c’est le remonter : partant de l’accélération, on remonte à la vitesse, puis à la position. À chaque remontée, il manque une info (la position/vitesse de départ) : ce sont les conditions initiales qui la donnent.

Étape 4 — Équation de la trajectoire : éliminer t

Les équations horaires donnent x et y en fonction du temps. Pour avoir la forme de la trajectoire, on élimine t entre les deux :

  1. On extrait t de l’équation sur x : \displaystyle t = \frac{x}{v_0 \cos \alpha}
  2. On remplace dans l’équation sur y.

On obtient :

\boxed{\,y(x) = -\frac{g}{2(v_0 \cos \alpha)^2}\, x^2 + (\tan \alpha)\, x\,}

C’est une parabole dans le plan vertical contenant \vec{v_0}.

Avertissement⚠️ Piège — « Parabole », pas « arc de cercle »

Intuitivement, on imagine souvent qu’un ballon lancé trace un arc de cercle. Non ! C’est une parabole. La différence est subtile à l’œil nu mais importante : une parabole « retombe » plus fort qu’un cercle en bout de course.

Résumé visuel — Tir parabolique

y x O v₀ α Flèche (y max) Portée (y = 0)

La trajectoire est une parabole. La flèche est la hauteur maximale, la portée la distance au sol.

Note🧪 Exemple — Tir à 30° à 20 m/s

Un ballon est lancé depuis le sol à v_0 = 20 m·s⁻¹, avec \alpha = 30°. On prend g = 9{,}8 m·s⁻².

Équations horaires : x(t) = 20 \cos(30°)\, t \approx 17{,}3\, t \qquad y(t) = -4{,}9\, t^2 + 20 \sin(30°)\, t = -4{,}9\, t^2 + 10\, t

Temps de vol (retour au sol, y = 0, t \neq 0) : t = \frac{10}{4{,}9} \approx 2{,}0 \text{ s}

Portée (distance horizontale parcourue) : x_{\text{max}} = 17{,}3 \times 2{,}0 \approx 35 \text{ m}

3. Aspects énergétiques

Lors d’un mouvement dans un champ uniforme, en l’absence de frottements, l’énergie mécanique du système se conserve :

E_m = E_c + E_{pp} = \text{constante}

L’énergie cinétique se convertit en énergie potentielle (et réciproquement), comme sur un échangeur.

Astuce💡 Analogie — Le compte en banque de l’énergie

Imagine deux comptes bancaires : E_c (vitesse) et E_{pp} (hauteur). La somme E_m = E_c + E_{pp} est fixe. Quand le ballon monte, il transfère des euros du compte « vitesse » vers le compte « hauteur ». Quand il redescend, l’inverse. Au point le plus haut, tout est sur E_{pp} (vitesse verticale nulle). Au sol, tout est sur E_c.

Important📐 Formules d’énergie

E_c = \frac{1}{2} m v^2 \qquad E_{pp} = m g z

  • m : masse (kg)
  • v : valeur de la vitesse (m·s⁻¹)
  • z : altitude (m, mesurée depuis une référence choisie)
  • g : champ de pesanteur (N·kg⁻¹)
Avertissement⚠️ Piège — L’altitude de référence est arbitraire

L’altitude z = 0 est un choix : sol, table, plafond… peu importe. Ce qui compte, c’est la variation \Delta E_{pp} = mg(z_f - z_i), pas la valeur absolue. Quand un exercice demande « calcule E_{pp} », il faut toujours préciser : « avec z=0 au niveau du sol ».

Note🧪 Exemple — Vitesse d’impact d’une pomme

Une pomme tombe d’une branche à h = 6{,}7 m. Quelle vitesse a-t-elle en arrivant au sol ? (On néglige l’air, g = 10 N·kg⁻¹.)

Conservation de E_m entre le départ (en haut, v_i = 0) et l’arrivée (en bas, z = 0) : \underbrace{0 + mgh}_{E_m \text{ initial}} = \underbrace{\tfrac{1}{2} m v_f^2 + 0}_{E_m \text{ final}}

La masse se simplifie ! Il vient : v_f = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 6{,}7} \approx 11{,}6 \text{ m·s}^{-1} \approx 42 \text{ km·h}^{-1}

4. Application : l’accélérateur linéaire de particules

Un accélérateur linéaire (LINAC) utilise un champ électrique uniforme pour donner de la vitesse à des particules chargées (protons, électrons) en ligne droite. On s’en sert en recherche fondamentale (LHC, LINAC du CERN) et en médecine (radiothérapie).

Principe : on applique une tension U_{AB} entre deux points A et B. Une particule de charge q partant de A avec une vitesse négligeable acquiert une énergie cinétique égale au travail de la force électrique :

W_{A \to B}(\vec{F}) = \vec{F} \cdot \overrightarrow{AB} = q \times E \times d = q \times \frac{U_{AB}}{d} \times d

\boxed{\,W_{A \to B}(\vec{F}) = q \, U_{AB}\,}

D’après le théorème de l’énergie cinétique : \Delta E_c = W_{A \to B}(\vec{F}) \quad \Longrightarrow \quad \frac{1}{2} m v_B^2 - 0 = q\, U_{AB}

D’où la vitesse en sortie : v_B = \sqrt{\frac{2\, q\, U_{AB}}{m}}

Note🧪 Exemple — Proton accéléré à 1 kV

Un proton (q = e = 1{,}6 \times 10^{-19} C, m = 1{,}67 \times 10^{-27} kg) est accéléré sous U = 1000 V. v = \sqrt{\frac{2 \times 1{,}6 \times 10^{-19} \times 1000}{1{,}67 \times 10^{-27}}} \approx 4{,}4 \times 10^{5} \text{ m·s}^{-1}

440 km/s avec seulement 1 kV ! Voilà pourquoi les accélérateurs sont si efficaces.

🗺️ Carte mentale du chapitre

flowchart TD
  A[Champ uniforme] --> B[Champ de pesanteur g]
  A --> C[Champ électrique E = U/d]
  B --> D["2ᵉ loi de Newton : a = g"]
  C --> E["2ᵉ loi de Newton : a = qE/m"]
  D --> F[Primitivation<br/>+ conditions initiales]
  E --> F
  F --> G[Vecteur vitesse v⃗-t-]
  G --> H[Primitivation<br/>+ conditions initiales]
  H --> I[Équations horaires x-t-, y-t-]
  I --> J[Élimination de t]
  J --> K[Équation de la trajectoire<br/>PARABOLE]
  A --> L[Aspects énergétiques]
  L --> M["Conservation Em = Ec + Epp"]
  L --> N["Théorème énergie cinétique<br/>W = q·U pour LINAC"]

  classDef champ fill:#eef2ff,stroke:#6366f1,stroke-width:2px,color:#1e293b;
  classDef newton fill:#fdf2f8,stroke:#ec4899,stroke-width:2px,color:#1e293b;
  classDef result fill:#fff7ed,stroke:#f59e0b,stroke-width:2px,color:#1e293b;
  classDef energie fill:#ecfdf5,stroke:#10b981,stroke-width:2px,color:#1e293b;

  class A,B,C champ;
  class D,E,F,G,H,I,J newton;
  class K result;
  class L,M,N energie;

📝 À retenir absolument

  1. Champ uniforme = même direction, même sens, même valeur en tout point.
  2. Condensateur plan : E = U/d, direction perpendiculaire aux plaques, sens du + vers le −.
  3. Démarche : 2ᵉ loi de Newton → \vec{a} → primitivation → \vec{v} → primitivation → \overrightarrow{OM} → équations horaires → élimination de t → équation de la trajectoire (parabole).
  4. Les conditions initiales déterminent les constantes d’intégration.
  5. Sans frottements, l’énergie mécanique se conserve : $E_c + E_{pp} = $ cste.
  6. Accélérateur linéaire : W_{A\to B}(\vec{F}) = q\, U_{AB} donne l’énergie acquise par la particule.

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🔗 Pour aller plus loin

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